Junge, PeterK. Ich kann mir nicht vorstellen, eine wirklich lineare Phase und Kausal-Filter, die wirklich IIR ist. Ich kann nicht sehen, wie Sie Symmetrie erhalten würden, ohne dass die Sache FIR wäre. Und, semantisch, würde ich ein Truncated IIR (TIIR) eine Methode der Implementierung einer Klasse von FIR aufrufen. Und dann erhalten Sie nicht lineare Phase, es sei denn Sie zum filtfilt Ding mit ihm, blockweise, sorta wie Powell-Chau. Ndash robert bristow-johnson November 26 15 am 3:32 Diese Antwort erklärt, wie filtfilt funktioniert. Ndash Ein Nullphasen-Gleit-Durchschnittsfilter ist ein FIR-Filter mit ungerader Länge mit Koeffizienten, wobei N die (ungerade) Filterlänge ist. Da hn für nlt0 Werte ungleich Null hat, ist es nicht kausal, und folglich kann es nur durch Hinzufügen einer Verzögerung, d. h. indem es kausal gemacht wird, implementiert werden. Beachten Sie, dass Sie einfach nicht verwenden können Matlabs filtfilt Funktion mit diesem Filter, denn obwohl Sie Null Phase (mit einer Verzögerung) erhalten würde, wird die Größe der Filterübertragungsfunktion quadriert, entsprechend einer dreieckigen Impulsantwort (dh Eingang Proben weiter entfernt von der Stromprobe weniger Gewicht). Diese Antwort erklärt im Detail, was filtfilt tut. Der Wissenschaftler und Ingenieure Leitfaden für digitale Signalverarbeitung Von Steven W. Smith, Ph. D. Kapitel 19: Rekursive Filter Es gibt drei Arten von Phasenreaktionen, die ein Filter haben kann: Nullphase. Linearer Phase. Und nichtlineare Phase. Ein Beispiel für jedes von diesen ist in Abbildung 19-7 gezeigt. Wie in (a) gezeigt, ist das Nullphasenfilter durch eine Impulsantwort charakterisiert, die um den Nullpunkt symmetrisch ist. Die tatsächliche Form spielt keine Rolle, nur daß die negativ numerierten Abtastwerte ein Spiegelbild der positiv numerierten Abtastwerte sind. Wenn die Fourier-Transformation von dieser symmetrischen Wellenform genommen wird, ist die Phase vollständig null, wie in (b) gezeigt. Der Nachteil des Nullphasenfilters besteht darin, daß er die Verwendung von negativen Indizes erfordert, was für die Arbeit unpraktisch sein kann. Das lineare Phasenfilter ist ein Weg um dieses. Die Impulsantwort in (d) ist mit der in (a) gezeigten identisch, außer sie wurde verschoben, um nur positiv numerierte Proben zu verwenden. Die Impulsantwort ist immer noch symmetrisch zwischen links und rechts, die Lage der Symmetrie ist jedoch von Null verschoben worden. Diese Verschiebung führt dazu, daß die Phase (e) eine gerade Linie ist. Abrechnung des Namens: lineare Phase. Die Steigung dieser Geraden ist direkt proportional zum Betrag der Verschiebung. Da die Verschiebung der Impulsantwort nichts anderes bewirkt als eine identische Verschiebung des Ausgangssignals, ist das lineare Phasenfilter dem Nullphasenfilter für die meisten Zwecke äquivalent. Abbildung (g) zeigt eine Impulsantwort, die nicht symmetrisch zwischen links und rechts ist. Entsprechend ist die Phase (h) keine Gerade. Mit anderen Worten, es hat eine nichtlineare Phase. Nicht verwirren die Begriffe: nichtlineare und lineare Phase mit dem Konzept der System-Linearität diskutiert in Kapitel 5. Obwohl beide das Wort linear. Sie sind nicht verwandt. Warum ist mir egal, ob die Phase linear ist oder nicht Die Abbildungen (c), (f) und (i) zeigen die Antwort. Dies sind die Impulsantworten jedes der drei Filter. Die Impulsantwort ist nichts weiter als eine positiv gehende Schrittantwort, gefolgt von einer negativ gehenden Schrittantwort. Die Impulsantwort wird hier verwendet, weil sie anzeigt, was mit den ansteigenden und fallenden Flanken in einem Signal geschieht. Hier ist der wichtige Teil: Null - und lineare Phasenfilter haben linke und rechte Kanten, die gleich aussehen. Während nichtlineare Phasenfilter linke und rechte Kanten haben, die anders aussehen. Viele Anwendungen können nicht tolerieren, die linken und rechten Kanten anders aussehen. Ein Beispiel ist die Anzeige eines Oszilloskops, wobei diese Differenz als Merkmal des zu messenden Signals fehlinterpretiert werden könnte. Ein weiteres Beispiel ist die Videoverarbeitung. Können Sie sich vorstellen, schalten Sie Ihren Fernseher, um das linke Ohr Ihres Lieblings-Schauspieler suchen anders als sein rechtes Ohr finden Es ist einfach, eine FIR (Finite-Impulsantwort) Filter haben eine lineare Phase. Denn die Impulsantwort (Filterkernel) wird direkt im Designprozess spezifiziert. Damit der Filterkernel eine Links-Rechts-Symmetrie hat, ist alles erforderlich. Dies ist bei IIR (rekursiven) Filtern nicht der Fall, da die Rekursionskoeffizienten angegeben sind, nicht aber die Impulsantwort. Die Impulsantwort eines rekursiven Filters ist nicht symmetrisch zwischen links und rechts und hat daher eine nichtlineare Phase. Analoge elektronische Schaltungen haben das gleiche Problem mit dem Phasengang. Stellen Sie sich eine Schaltung aus Widerständen und Kondensatoren auf Ihrem Schreibtisch sitzen. Wenn der Eingang immer Null war, ist der Ausgang auch immer Null gewesen. Wenn ein Impuls an den Eingang angelegt wird, werden die Kondensatoren schnell auf einen Wert geladen und beginnen dann exponentiell durch die Widerstände zu zerfallen. Die Impulsantwort (d. h. das Ausgangssignal) ist eine Kombination dieser verschiedenen abklingenden Exponentiale. Die Impulsantwort kann nicht symmetrisch sein, da der Ausgang vor dem Impuls Null war und der exponentielle Zerfall nie wieder einen Wert von Null erreicht. Analoge Filterdesigner greifen dieses Problem mit dem Bessel-Filter an. Das in Kapitel 3 dargestellt ist. Das Bessel-Filter ist so ausgelegt, dass es eine möglichst lineare Phase aufweist, jedoch weit unter der Leistung von digitalen Filtern liegt. Die Fähigkeit, eine exakte lineare Phase bereitzustellen, ist ein klarer Vorteil von digitalen Filtern. Glücklicherweise gibt es eine einfache Möglichkeit, rekursive Filter zu modifizieren, um eine Nullphase zu erhalten. Abbildung 19-8 zeigt ein Beispiel dafür, wie dies funktioniert. Das zu filternde Eingangssignal ist in (a) dargestellt. Abbildung (b) zeigt das Signal, nachdem es von einem einpoligen Tiefpassfilter gefiltert wurde. Da es sich hierbei um ein nichtlineares Phasenfilter handelt, sehen die linken und rechten Kanten nicht gleich aus, sie sind umgekehrte Versionen voneinander. Wie zuvor beschrieben, wird dieses rekursive Filter implementiert, indem man bei der Probe 0 anfängt und in Richtung der Probe 150 arbeitet, wobei jede Abtastung auf dem Weg berechnet wird. Es sei nun angenommen, daß anstatt sich von der Abtastprobe 0 zur Abtastprobe 150 zu bewegen, bei der Abtastprobe 150 anfängt und sich zu dem Abtastwert 0 bewegt. Mit anderen Worten wird jede Abtastung in dem Ausgangssignal aus den Eingangs - und Ausgangsabtastwerten rechts von der zu bearbeitenden Abtastprobe berechnet auf. Dies bedeutet, daß die Rekursionsgleichung Gl. 19-1, wird geändert in: Fig. (C) zeigt das Ergebnis dieser Rückwärtsfilterung. Dies ist analog zum Durchführen eines analogen Signals durch eine elektronische RC-Schaltung während der Laufzeit rückwärts. Esrvinu eht pu-wercs nac lasrever emit - noituaC Die Filterung in umgekehrter Richtung erzeugt keinen Vorteil für sich, das gefilterte Signal hat noch linke und rechte Kanten, die nicht gleich aussehen. Die Magie geschieht, wenn Vorwärts - und Rückwärtsfilterung kombiniert werden. Die Abbildung (d) ergibt sich aus der Filterung des Signals in Vorwärtsrichtung und dem erneuten Filtern in umgekehrter Richtung. Voila Dies erzeugt ein Nullphasen-Rekursivfilter. Tatsächlich kann jedes rekursive Filter mit dieser bidirektionalen Filtertechnik auf Nullphase umgesetzt werden. Die einzige Strafe für diese verbesserte Leistung ist ein Faktor von zwei in der Ausführungszeit und der Programmkomplexität. Wie finden Sie die Impuls - und Frequenzreaktionen des Gesamtfilters? Die Größe des Frequenzganges ist für jede Richtung gleich, während die Phasen einander entgegengesetzt sind. Wenn die beiden Richtungen kombiniert werden, wird die Größe quadriert. Während die Phase auf Null sinkt. Im Zeitbereich entspricht dies dem Falten der ursprünglichen Impulsantwort mit einer von links nach rechts gekippten Version von sich selbst. Beispielsweise ist die Impulsantwort eines einpoligen Tiefpaßfilters ein einseitiges Exponential. Die Impulsantwort des entsprechenden bidirektionalen Filters ist ein einseitiges Exponential, das nach rechts zerfällt, gefaltet mit einem einseitigen Exponential, das nach links zerfällt. Beim Durchlaufen der Mathematik erweist sich dies als doppelseitiges Exponential, das sowohl nach links als auch nach rechts zerfällt, mit der gleichen Abklingkonstante wie das ursprüngliche Filter. Einige Anwendungen haben nur einen Teil des Signals im Computer zu einem bestimmten Zeitpunkt, wie zum Beispiel Systeme, die abwechselnd Input-und Output-Daten auf einer kontinuierlichen Basis. Bidirektionale Filterung kann in diesen Fällen verwendet werden, indem sie mit der im letzten Kapitel beschriebenen Überlappungsmethode kombiniert wird. Wenn Sie zu der Frage kommen, wie lange die Impulsantwort ist, sagen Sie nicht unendlich. Wenn Sie dies tun, müssen Sie jedes Signal-Segment mit einer unendlichen Anzahl von Nullen. Denken Sie daran, dass die Impulsantwort abgeschnitten werden kann, wenn sie unter dem Rundungsrauschpegel, d. H. Etwa 15 bis 20 Zeitkonstanten, abgeklungen ist. Jedes Segment muss mit Nullen auf links und rechts aufgefüllt werden, um die Erweiterung während der bidirektionalen Filterung. Die Wissenschaftler und Ingenieure Leitfaden für digitale Signalverarbeitung Von Steven W. Smith, Ph. D. In der mathematischen Form: Wenn xn harr MagX f amp PhaseX f, so ergibt sich eine Verschiebung im Zeitbereich: xns 8596 MagX f amp PhaseX f 2pi sf (wobei f als Bruch ausgedrückt wird Der Abtastrate, die zwischen 0 und 0,5 liegt). In Worten, eine Verschiebung von s Proben im Zeitbereich verlässt die Größe unverändert, sondern fügt einen linearen Begriff in die Phase, 2960 sf. Werfen wir einen Blick auf ein Beispiel, wie dies funktioniert. Abbildung 10-3 zeigt, wie die Phase beeinflusst wird, wenn die Zeitbereichswellenform nach links oder rechts verschoben wird. Die Größe ist in dieser Abbildung nicht enthalten, da sie nicht interessant ist, wird sie nicht durch die Zeitbereichsverschiebung geändert. In den Fig. (A) bis (d) wird die Wellenform allmählich von dem Peak entfernt, der auf dem Abtastwert 128 zentriert ist, damit er auf dem Abtastwert 0 zentriert ist. Diese Sequenz von Graphen berücksichtigt, dass die DFT den Zeitbereich als kreisförmig ansieht, wenn Abschnitte der Wellenformausgang nach rechts, sie erscheinen auf der linken Seite. Die Zeitbereichswellenform in Fig. 10-3 ist um eine vertikale Achse symmetrisch, dh die linke und die rechte Seite sind spiegelbildlich zueinander. Wie in Kapitel 7 erwähnt, werden Signale mit dieser Symmetrieart als lineare Phase bezeichnet. Da die Phase ihres Frequenzspektrums eine Gerade ist. Ebenso werden Signale, die diese Links-Rechts-Symmetrie nicht haben, als nichtlineare Phase bezeichnet. Und haben Phasen, die etwas anderes als eine gerade Linie sind. Die Fig. (E) bis (h) zeigen die Phase der Signale in (a) bis (d). Wie in Kapitel 7 beschrieben, werden diese Phasensignale ausgepackt. So daß sie ohne die Diskontinuitäten auftreten, die mit dem Halten des Werts zwischen 960 und -960 verbunden sind. Wenn die Zeitbereichswellenform nach rechts verschoben wird, bleibt die Phase eine gerade Linie, erfährt aber eine Abnahme der Steigung. Wenn der Zeitbereich nach links verschoben wird, steigt die Steigung. Dies ist die wichtigste Eigenschaft, die Sie aus diesem Abschnitt merken müssen, dass eine Verschiebung im Zeitbereich der Änderung der Steilheit der Phase entspricht. Die Figuren (b) und (f) zeigen einen einzigartigen Fall, bei dem die Phase vollständig Null ist. Dies tritt auf, wenn das Zeitbereichssignal symmetrisch um den Abtastwert Null ist. Auf den ersten Blick kann diese Symmetrie in (b) nicht offensichtlich sein, es kann jedoch erscheinen, dass das Signal um die Probe 256 (d. H. N & sub2;) symmetrisch ist. Denken Sie daran, dass die DFT den Zeitbereich als kreisförmig ansieht, wobei der Abtastwert Null inhärent mit dem Abtastwert N-1 verbunden ist. Jedes Signal, das um die Probe Null symmetrisch ist, ist auch symmetrisch um die Probe N 2 und umgekehrt. Bei Verwendung von Mitgliedern der Fourier-Transform-Familie, die den Zeitbereich nicht als periodisch (wie die DTFT) betrachten, muss die Symmetrie um den Abtastwert Null liegen, um eine Nullphase zu erzeugen. Die Figuren (d) und (h) zeigen etwas Rätselhaftes. Zuerst stellen Sie sich vor, dass (d) durch Verschieben der Wellenform in (c) etwas mehr nach rechts gebildet wurde. Dies bedeutet, dass die Phase in (h) eine etwas negative negative Steigung als in (g) haben würde. Diese Phase ist als Linie 1 dargestellt. Als nächstes stellen wir uns vor, dass (d) durch Starten mit (a) und Verschieben nach links gebildet wurde. In diesem Fall sollte die Phase eine etwas positivere Steigung als (e) aufweisen, wie durch die Linie 2 dargestellt ist. Schließlich ist zu beachten, daß (d) um die Probe N & sub2; symmetrisch ist und daher eine Nullphase aufweisen sollte, wie dies durch dargestellt ist Zeile 3. Welche dieser drei Phasen ist richtig Sie sind alle, je nachdem, wie die 960 und 2960 Phasen-Unklarheiten (diskutiert in Kapitel 8) angeordnet sind. Zum Beispiel unterscheidet sich jede Abtastung in Zeile 2 von dem entsprechenden Abtastwert in Zeile 1 durch ein ganzzahliges Vielfaches von 2960, was sie gleich macht. Um die Linie 3 mit den Linien 1 und 2 zu verbinden, müssen auch die 960 Unklarheiten berücksichtigt werden. Um zu verstehen, warum sich die Phase so verhält, wie sie es tut, stellen Sie sich vor, eine Wellenform um eine Probe nach rechts zu verschieben. Dies bedeutet, dass alle Sinusoide, aus denen die Wellenform besteht, ebenfalls um eine Probe nach rechts verschoben werden müssen. Abbildung 10-4 zeigt zwei Sinusoide, die ein Teil der Wellenform sein können. In (a) hat die Sinuswelle eine sehr niedrige Frequenz, und eine Abtastverschiebung ist nur ein kleiner Bruchteil eines vollen Zyklus. In (b) hat die Sinuskurve eine Frequenz von der Hälfte der Abtastrate, die höchste Frequenz, die in den abgetasteten Daten existieren kann. Eine Abtastverschiebung bei dieser Frequenz ist gleich einem gesamten 12-Zyklus oder 960 rad. Das heißt, wenn eine Verschiebung in Form einer Phasenänderung ausgedrückt wird, wird sie proportional zu der Frequenz der Sinuskurve, die verschoben wird. Betrachten wir zum Beispiel eine Wellenform, die um den Nullpunkt symmetrisch ist und daher eine Nullphase aufweist. Abbildung 10-5a zeigt, wie sich die Phase dieses Signals ändert, wenn sie nach links oder rechts verschoben wird. Bei der höchsten Frequenz, der Hälfte der Abtastrate, erhöht sich die Phase um 960 für jede Abtastverschiebung nach links und verringert sich um 960 für jede Abtastverschiebung nach rechts. Bei Nullfrequenz gibt es keine Phasenverschiebung, und alle Frequenzen folgen in einer Geraden. Alle bisher verwendeten Beispiele sind lineare Phase. Abbildung 10-5b zeigt, dass nichtlineare Phasensignale auf die Verschiebung in der gleichen Weise reagieren. In diesem Beispiel ist die nichtlineare Phase eine Gerade mit zwei Rechteckimpulsen. Wenn der Zeitbereich verschoben wird, werden diese nichtlinearen Merkmale einfach der sich ändernden Steigung überlagert. Was passiert in den realen und imaginären Teilen, wenn die Zeitbereichswellenform verschoben wird, erinnern daran, dass Frequenzdomänensignale in rechteckiger Schreibweise für den Menschen kaum zu verstehen sind. Die Real - und Imaginärteile sehen typischerweise wie zufällige Oszillationen ohne sichtbares Muster aus. Wenn das Zeitbereichssignal verschoben wird, werden die wackligen Muster der Real - und Imaginärteile noch oszillierender und schwer zu interpretieren. Verschwenden Sie nicht Ihre Zeit versucht, diese Signale zu verstehen, oder wie sie durch Zeitbereich Verschiebung geändert werden. Abbildung 10-6 zeigt, welche Informationen in der Phase enthalten sind. Und welche Information in der Grße enthalten ist. Die Wellenform in (a) hat zwei sehr unterschiedliche Merkmale: eine steigende Flanke bei der Probennummer 55 und eine fallende Flanke bei der Probennummer 110. Kanten sind sehr wichtig, wenn Information in Form einer Wellenform codiert wird. Eine Kante zeigt an, wenn etwas passiert, indem man alles, was links ist, von dem, was auf der rechten Seite ist, teilt. Es ist Zeitbereich codierte Informationen in seiner reinsten Form. Um die Demonstration zu beginnen, wird die DFT aus dem Signal in (a) genommen und das Frequenzspektrum in polare Notation umgewandelt. Um das Signal in (b) zu finden, wird die Phase durch Zufallszahlen zwischen -960 und 960 ersetzt und die inverse DFT verwendet, um die Zeitbereichswellenform zu rekonstruieren. Mit anderen Worten, (b) basiert nur auf den in der Größe enthaltenen Informationen. In ähnlicher Weise wird (c) gefunden, indem die Grße durch kleine Zufallszahlen ersetzt wird, bevor die inverse DFT verwendet wird. Dies macht den Wiederaufbau von (c) ausschließlich auf der Grundlage der in der Phase enthaltenen Informationen. Das Ergebnis Die Orte der Kanten sind klar in (c), aber völlig fehlen in (b). Dies liegt daran, dass eine Kante gebildet wird, wenn viele Sinusoide an der gleichen Stelle ansteigen, nur möglich, wenn ihre Phasen koordiniert sind. Kurz gesagt, ist ein Großteil der Informationen über die Form der Zeitbereichswellenform in der Phase enthalten. Anstatt die Größe. Dies kann mit Signalen im Kontrast stehen, deren Information im Frequenzbereich codiert ist, wie beispielsweise Audiosignale. Die Größe ist für diese Signale am wichtigsten, wobei die Phase nur eine untergeordnete Rolle spielt. In späteren Kapiteln werden wir sehen, dass diese Art von Verständnis Strategien für die Gestaltung von Filtern und andere Methoden der Verarbeitung von Signalen liefert. Das Verständnis, wie Information in Signalen dargestellt wird, ist immer der erste Schritt im erfolgreichen DSP. Warum entspricht die Links-Rechts-Symmetrie einer Null - (oder Linear-) Phase Abbildung 10-7 liefert die Antwort. Ein solches Signal kann in eine linke und eine rechte Hälfte zerlegt werden, wie in (a), (b) und (c) gezeigt. Die Probe im Symmetriezentrum (in diesem Fall null) ist gleichmäßig auf die linke und die rechte Hälfte aufgeteilt, sodass die beiden Seiten perfekt zueinander passende Spiegelbilder darstellen können. Die Grßen dieser beiden Hälften sind identisch. Wie in (e) und (f) gezeigt, während die Phasen einander entgegengesetzt sind, wie in (h) und (i). Dabei fallen zwei wichtige Konzepte aus. Zuerst wird jedes Signal, das symmetrisch zwischen links und rechts ist, eine lineare Phase haben, da die nichtlineare Phase der linken Hälfte genau die nichtlineare Phase der rechten Hälfte aufhebt. Zweitens stellen Sie sich vor, Kippen (b), so dass es (c) wird. Dieser Links-Rechts-Flip im Zeitbereich tut nichts zur Größe, sondern ändert das Vorzeichen von jedem Punkt in der Phase. Ähnlich ändert das Ändern des Vorzeichens der Phase das Zeitbereichssignal von links nach rechts. Wenn die Signale kontinuierlich sind, ist der Flip um Null. Wenn die Signale diskret sind, ist der Flip um Abtastwert Null und Abtastwert N & sub2; gleichzeitig. Ändern der Vorzeichen der Phase ist eine gemeinsame genug, dass es seinen eigenen Namen und Symbol gegeben. Der Name ist eine komplexe Konjugation. Und es wird dargestellt, indem ein Stern auf die obere rechte Seite der Variablen gesetzt wird. Wenn z. B. X f aus MagX f und Phase X f besteht, dann wird X f komplex konjugiert und besteht aus MagX f und - PhaseX f. In rechtwinkliger Schreibweise wird die komplexe Konjugiertheit gefunden, indem man den Realteil allein läßt und das Vorzeichen des Imaginärteils ändert. Mathematisch, wenn X f aus ReX f und ImX f zusammengesetzt ist, besteht X f aus ReX f und - ImX f. Hier sind einige Beispiele, wie das komplexe Konjugat in DSP verwendet wird. Hat x n eine Fourier-Transformierte von X f, so hat x-n eine Fourier-Transformation von X 8727 f. In Worten entspricht das Umschalten des Zeitbereichs von links nach rechts der Änderung des Vorzeichens der Phase. Als weiteres Beispiel, erinnern aus Kapitel 7, dass die Korrelation als eine Faltung durchgeführt werden kann. Dies geschieht, indem man eines der Signale nach links dreht. In mathematischer Form ist a n b n eine Faltung, während a n b - n eine Korrelation ist. Im Frequenzbereich entsprechen diese Operationen A f mal B f bzw. A f mal B f. Als letztes Beispiel betrachten wir ein beliebiges Signal x n und sein Frequenzspektrum X f. Das Frequenzspektrum kann durch Multiplizieren mit seiner komplex konjugiert, dh X f mal X f, auf Nullphase geändert werden. In Worten, was Phase X f geschieht, wird durch Hinzufügen seines Gegenteils aufgehoben werden (denken Sie daran, wenn Frequenzspektren multipliziert werden, werden ihre Phasen hinzugefügt). In dem Zeitbereich bedeutet dies, dass x n x - n (ein Signal, das mit einer links-rechts-gekippten Version von sich selbst gefaltet wurde) eine Links-Rechts-Symmetrie um die Abtast-Null aufweist, unabhängig davon, was x n ist. Für viele Ingenieure und Mathematiker ist diese Art der Manipulation DSP. Wenn Sie mit dieser Gruppe kommunizieren möchten, sollten Sie sich daran gewöhnen, ihre Sprache zu benutzen.
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